欧几里得&扩展算法&扩展欧几里得-白红宇

欧几里得&扩展算法&扩展欧几里得

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发布时间：2019-06-21

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欧几里得算法

欧几里得算法又称为辗转相除法用来计算gcd(a , b)

int gcd(int a , int b){   return a%b==0?b:gcd(b , a%b);}

时间复杂度：O(log(b))

证明如下：

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个，则有

d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

扩展算法

算法描述：对于完全不为0的非负整数a , b。gcd(a , b)表示a , b的最大公约数，必然存在整数x , y，使得gcd(a , b) = a*x+b*y。

证明如下：

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的

原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

算法实现：

int kuo_zhan(int a , int b , int &x , int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int q = gcd(b , a%b , y , x);    y -= a/b*x;    return q;}

部分变换：

变换之后实现如下：

int kuoz_zhan_2(int a , int b , int &x , int &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    int q = gcd(b , a%b , x , y);    int tmp = x;    x = y;    y = tmp-a/b*y;    return q;}

证明如下：

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a'=b,b'=a%b 而言，我们求得 x, y使得 a'x+b'y=Gcd(a',b')

由于b'=a%b=a-a/b*b (注：这里的/是中的)

那么可以得到:

a'x+b'y=Gcd(a',b') ===>

bx+(a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)

一般解：

上面已经列出找一个解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：